Как найти разность арифметической прогрессии с примерами


Арифметическая прогрессия

Прогрессия – это определенная последовательность чисел.
Последовательность обозначается так: (an )

Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности.

Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена (a1. a2. a3 и т.д.- читается так: «а первое», «а второе», «а третье» и т.д.).

Последовательность может быть бесконечной или конечной.

Понятие арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия – это такая последовательность чисел, которая получается в результате сложения каждого последующего члена с одним и тем же числом.

Возьмем последовательность чисел 3; 10; 17; 24; 31.
Здесь каждое последующее число на 7 больше предыдущего. То есть последовательность получилась в результате прибавления одного и того же числа 7 к каждому последующему члену. Это и есть арифметическая прогрессия:

Формула арифметической прогрессии.

Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой:

И наоборот: если последовательность задана подобной формулой, то эта последовательность точно является арифметической прогрессией.

Пример.

формула an = 8n – 2 является формулой арифметической прогрессии, так как она задана формулой типа an =kn +b. В ней k = 8, b = –2.

Разность арифметической прогрессии.

Разность арифметической прогрессии – это разность между последующим и предыдущим членами прогрессии. Ее обычно обозначают буквойd .

Пример :
Вернемся к нашей прогрессии 3; 10; 17; 24; 31. В ней разность между второй и первой, третьей и второй и т.д. членами равна 7. Число 7 и является разностью данной арифметической прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии.

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

В нашем примере второй член равен средней арифметической первого и третьего членов:

Точно так же третий член равен средней арифметической второго и четвертого членов и т.д.

Как найти определенный член арифметической прогрессии.

Чтобы найтиn -й член арифметической прогрессии, следует применить формулу:

Возьмем некую арифметическую прогрессию, в которой первый член равен 3, а разность арифметической прогрессии составляет 4.

Надо найти 45-й член этой прогрессии.

b45 = 3 + 4(45 – 1) = 3 + 4 · 44 = 3 + 176 = 179.

Ответ: 45-й член заданной арифметической прогрессии – число 179.

Как найти сумму первыхn членов арифметической прогрессии.

Сумму любого количества первых членов арифметической прогрессии можно найти
с помощью формулы:

Если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться другой формулой:

Пример 1. Найдем сумму первых ста членов арифметической прогрессии 1+2+3+4+5 и т.д.+100.

Ответ: Сумма первых ста членов заданной арифметической прогрессии равна 5050.

Пример 2. Найдем сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, в которой первый член равен 5, разность арифметической прогрессии составляет 3.

1) Найдем сначала двадцатый член по уже известной нам формуле an = a1 + d(n – 1):
a20 = 5 + 3 (20 – 1) = 5 + 3 · 19 = 62.

2) Теперь уже легко решить нашу задачу.

Ответ: Сумма первых двадцати членов заданной арифметической прогрессии равна 670.



как найти разность арифметической прогрессии с примерами:Арифметическая прогрессия Прогрессия – это определенная последовательность чисел. Последовательность обозначается так: (a n ) Числа, образующие последовательность, называют членами

как найти разность арифметической прогрессии с примерами