Как определить средний квадрат индивидуальных значений


/ Статистика / Статистика (учебник) / Тема 7 / Тема 7

Или (для интервального ряда) = (взвешенное).

Регион 1: = млн. руб.,

Регион 2: = млн. руб.

В нашем примере в регионе 1 показатели объема товарооборота более однородны, чем в регионе 2. Среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике редко. Во многих случаях этот показатель не устанавливает степень рассеивания.

На практике меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии . илисредний квадрат отклонений. иликвадрат среднего квадратического отклонения .

СРЕДНИЙ КВАДРАТ ОТКЛОНЕНИЙ ( ДИСПЕРСИЯ). - определяемый как средняя из отклонений индивидуальных значений признака от средней величины, возведенных в квадрат .

Дисперсия определяется по формулам:

Для ранжированного ряда: (простая);

Для интервального ряда: (взвешенная).

К орень квадратный из дисперсии - этоСРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ :

Среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле:

Для ранжированного ряда: (простое);

Для интервального ряда: (взвешенное).

и являются общепринятыми мерами вариации признака. Так по региону 1 дисперсия составила:

= , и среднеквадратическое отклонение = =8 млн. руб.

По региону 2 дисперсия составила:

= , и среднеквадратическое отклонение = млн. руб.

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность. Как видим, в регионе 1 дисперсия и среднее квадратическое отклонение значительно меньше, чем в регионе 2, что также подтверждает большую надежность средней в регионе 1.

Среднее квадратическое отклонение по величине всегда больше среднего линейного отклонения. Соотношение. для нормального закона распределения всегда должно примерно равняться 1:2. Если оно больше, то это свидетельствует о наличии в совокупностях резких выделяющихся отклонений, неоднородный с основной массой элементов, нарушающих развитие основной тенденции или закономерности совокупности. Поэтому в исследованиях необходимо применять один из этих показателей.

5. Относительные показатели вариации.

Для оценки интенсивности вариации и сравнения ее в разных совокупностях и различных признаков применяются относительные показатели вариации. Они вычисляются как отношения абсолютных показателей силы вариации к средней арифметической величине признака.

Существуют три относительных показателя, выраженных в процентах:

Относительный размах вариации отражает относительную меру колеблемости крайних значений признака вокруг средней:

Относительное линейное отклонение отражает долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины:

Коэффициент вариации как относительное квадратическое отклонение от средней величины:

Наиболее распространенным показателем колеблемости признаков является коэффициент вариации, потому что среднее квадратическое отклонение дает общую или обобщенную характеристику колеблемости всех вариантов совокупности.

6.

Виды дисперсий и правило сложения дисперсий.

Изучая дисперсию интересующего нас признака в пределах исследуемой совокупности и опираясь на общую среднюю в своих расчетах, мы не можем определить влияние отдельных факторов, характеризующих колеблемость индивидуальных значений (вариант) признака.

Это можно сделать при помощи группировок, подразделив изучаемую совокупность на группы, однородные по признаку-фактору. При этом можно определить три показателя колеблемости признака в совокупности: общую дисперсию, межгрупповую дисперсию и среднюю из внутригрупповых дисперсий.

Общая дисперсия характеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий в данной совокупности. Исчисляется общая дисперсия по формуле:

где 0 общая средняя для всей изучаемой совокупности.

М ежгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует колеблемость групповых (частных) средних

около общей средней. Межгрупповая дисперсия вычисляется по формуле: где -средняя по отдельным группам; - средняя общая; - численность отдельных групп.

Средняя внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе. Эта вариация возникает под влиянием других, не учитываемых факторов, и не зависит от условия (признака – фактора), положенного в основу группировки. Определяется она по формуле:

П РАВИЛО СЛОЖЕНИЯ ДИСПЕРСИЙ. общая дисперсия равна сумме величин межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий

Это правило (закон сложения) вариации (дисперсий) имеет большую практическую значимость, так как позволяет выявить зависимость результатов от определяющих факторов соотношением межгрупповой и общей дисперсии.

Условия задачи: Для изучения естественной убыли произведено 5%-ное выборочное обследование партии хранящихся на базе товаров. В результате лабораторного анализа установлено следующее распределение образцов:

Процент естественной убыли

Необходимо исчислить средний процент естественной убыли в выборке и среднее квадратическое отклонение или дисперсию.

Для определения середины интервала в каждой группе, т.е. среднего значения, необходимо от интервального перейти к дискретному ряду (прерывному). Величина интервала равна 2 (6-8, 8-6 и т.д.), среднее значение для второй и третьей групп составит 5 и 7, т.е. ; вторая группа ; третья группа

Нопервая ипоследняя группы имеют варианты с открытыми интервалами, у которых верхняя или нижняя границы точно не определены и сама граница остается как бы открытой.

В этом случае поступают следующим образом. Величину интервала (=2) делят пополам и из верхнего значения первого открытого интервала отнимают полученную величину (1); к нижнему значению последнего интервала прибавляют эту величину (1) и получают значения вариантов: 4-1=3 и 10+1=11.

Расчеты для средней величины и дисперсии признака произведены в таблице.

Процент естественной убыли

Ср. объем товарооборота

Средняя величина определяется по формуле средней арифметической взвешенной: ;

А дисперсия признака – по формуле взвешенной. .

Расчет произведем обычным способом, т.е. отсчетом от средней арифметической величины, в следующем порядке:

Найдем отклонения каждой варианты от средней величины - ,

Полученные отклонения возведем в квадрат - ;

Квадраты отклонения умножим на соответствующие частоты - ;

Полученные результаты суммируем и поделим на сумму частот по вышеприведенной формуле для ;

Таким образом, средний процент естественной убыли в выборочной совокупности составляет

В некоторых случаях необходимо определить коэффициент равномерности. Он исчисляется на основании коэффициента вариации, который показывает отношение среднего квадратического отклонения и средней величины, выраженное в процентах:

; отсюда коэффициент равномерности равен P=100 – V.

! Общие выводы к изученной теме

Средняя величина служит обобщающим показателем в статистике, демонстрирует общие тенденции и закономерности изучаемых явлений.

Выделяют несколько видов средних величин: средняя арифметическая, средняя геометрическая, средняя гармоническая и пр.

Для характеристики структуры изучаемой статистической совокупности применяют такие показатели, как мода и медиана.

Для характеристики различия индивидуальных значений внутри изучаемой совокупности (т.е. вариации признака) применяют такие показатели, как размах вариации, среднее линейное, средний квадрат отклонений (дисперсия), среднее квадратическое отклонение.

? Вопросы для самопроверки

Каково статистическое значение средних величин, моды и медианы? В чем их достоинства и недостатки с точки зрения статистики?

Как исчисляется взвешенная средняя?

Что такое модальный интервал и как он определяется? Приведите пример.

Перечислите известные Вам показатели вариации, как абсолютные, так и относительные.

В чем смысл понятия дисперсии? Каково правило сложения дисперсий?



как определить средний квадрат индивидуальных значений:/ Статистика / Статистика (учебник) / Тема 7 / Тема 7 Или (для интервального ряда) = (взвешенное). Регион 1: = млн. руб., Регион 2: = млн. руб. В нашем примере в регионе 1 показатели объема

как определить средний квадрат индивидуальных значений