Как построить проекции касательной плоскости


Позиционные задачи

Понятия и определения

Круг задач, ответы на которые могут быть получены графическим путем, чрезвычайно широк. При пом независимо от степени сложности их решения и характера вопросов, требующих ответа, нее они могут быть отнесены всего лишь к одному из двух классов: 1-й класс - задачи позиционные; 2-й класс - задачи метрические.

Следует иметь в виду, что деление задач на позиционные и метрические является условным. Гели из всего многообразия задач позиционную группу можно выделить, то чисто метрические задачи встречаются очень редко; как правило, при решении метрических задач предварительно приходится выяснять позиционные отношения между геометрическими фигурами, входящими в условия задачи или построенными в процессе решения, г. е. решать позиционную задачу.

Несмотря на зго, распределение задач по отмеченным классам в методическом отношении имеет большой смысл, так как позволяет установить единые (обобщенные) алгоритмы, пригодные для решения широкого круга задач, входящих в один класс, и, как следствие, обеспечить простой и надежный поиск частного алгоритма для решения поставленной задачи.

В этой главе будут рассмотрены различные виды позиционных задач и указаны алгоритмы их решения. Под позиционными подразумеваются задачи, решение которых позволяет получить ответ о принадлежности элемента (точки) или подмножества (линии) множеству (поверхности). К позиционным относятся также задачи на определение общих элементов, принадлежащих различным геометрическим фигурам.

Первая группа задач может быть объединена под общим названием задачи на принадлежность (инцидентность). К ним, в частности, относятся задачи на определение:

1) принадлежности точки линии (А ∈ l);

2) принадлежности точки поверхности (А ∈ α);

3) принадлежности линии поверхности (l ⊂ α).

Ко второй группе относятся задачи на пересечение. Эта группа содержит также три типа задач:

1) на пересечение линии с линией (l ∩ m);

2) на пересечение поверхности с поверхностью (α ∩ β);

3) на пересечение линии с поверхностью (l ∩ α).

С точки зрения единства принципа, положенного в основу решения позиционных задач, их можно не делить на две группы. Подходя к позиционным задачам с таких позиций, можно считать, что все многообразие позиционных задач может быть сведено к решению задач первой группы - задач на принадлежность: 1) А ∈ l, 2) А ∈ α и 3) l ⊂ α. В справедли

вости такого утверждения легко убедиться, перефразировав условия задач, входящих во вторую группу. Действительно:

1) задачу на определение точки пересечения линии с линией (l ∩ m) можно заменить задачей 1 (А ∈ l) первой группы: "определить точку, принадлежащую как линии l, так и линии m";

2) условие "построить линию пересечения поверхностей α и β" (α ∩ β - задача 2 второй группы) можно заменить задачей, относящейся к первой группе: "определить (построить) линию l, принадлежащую как поверхности α, так и β" (l ⊂ α - задача 3 первой группы);

3) задачу 3 второй группы "построить точку А пересечения линии l с поверхностью α (l ∩ α)" можно рассматривать как две задачи первой группы: А ∈ l (задача 1) и A ∈ α (задача 2).

Если учесть, что линию можно рассматривать как множество принадлежащих ей точек, то задача третьего типа (l ⊂ α) сводится к многократному решению задачи определения A ∈ α.

Тогда окончательно получим следующее определение:

к позиционным относятся задачи, решение которых, в конечном счете, сводится: 1) к построению точки, принадлежащей линии (А ∈ l), и 2) к построению точки, принадлежащей поверхности (А ∈ α).

Решение таких задач базируется на инвариантном свойстве 2 (см. § 6) ортогонального проецирования, из которого вытекает:

A ∈ l ⇐⇒ (A' ∈ l') ∧ (А" ∈ l"); (2)

A ∈ α ⇐⇒ (A' ∈ l' ⊂ α') ∧ (А" ∈ l" ⊂ α" ); (3)

Проследим на примерах, как решаются позиционные задачи.

Принадлежность точки линии (A ∈ l)

При выяснении вопроса о принадлежности точки линии или при решении аналогичной задачи на построение точки, принадлежащей линии, достаточно использовать только свойство (2) из § 38.

Принадлежность точки поверхности (A ∈ α)

При составлении алгоритма решения этой группы задач следует базироваться на свойстве (3) из § 38, т. е. для того чтобы на чертеже поверхности указать проекции принадлежащей ей точки, необходимо вначале построить проекции какой-либо линии, принадлежащей поверхности, а затем на этой линии отметить точку.

Принадлежность линии поверхности ( l ⊂ α)

Построение линии, принадлежащей поверхности, принципиально не отличается от построения точки, принадлежащей поверхности (см. § 40, примеры 1. 9). Различие состоит лишь в том, что определяются проекции не одной, а п точек, принадлежащих линии.

Пересечение линии с линией (l ∩ m)

Решение задач на определение общей точки, принадлежащей как линии l, так и линии m, или иначе, задач по опредачению точки пересечения двух линий, вытекает непосредственно из инварианта ортогонального проецирования

Пересечение поверхности с поверхностью (α ∩ β)

Две поверхности пересекаются по линии, точки которой принадлежат каждой из пересекающихся поверхностей.

Пересечение плоскостей

Использование универсального алгоритма для решения задач по определению линии пересечения поверхностей проследим вначале на наиболее простых примерах пересечения двух плоскостей.

Пересечение поверхности плоскостью (построение сечения)

При пересечении поверхности или какой-либо геометрической фигуры плоскостью получается плоская фигура, которую называют сечением.

Плоскость, касательная к поверхности

Касательные плоскости играют большую роль в геометрии. Построение касательных плоскостей в практическом отношении имеет важное значение, так как наличие их позволяет определить направление нормали к поверхности в точке касания.

Построение линии пересечения поверхностей (общий случай)

В алгоритме для решения задач на построение линии пересечения двух поверхностей l = (L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪.

∪ Ln); |(γj ∩ α) ∩ (γj ∩ β)] в качестве вспомогательной поверхности (посредника) γj следует выбирать поверхности, которые пересекали бы заданные поверхности α и β по наиболее простым для построения линиям - прямым или окружностям.

Построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих плоскостей

При определении линии пересечения поверхностей пользуются не отдельными плоскостями, а пучками плоскостей, причем ось пучка может быть как собственной, так несобственной прямой.

Построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных цилиндрических поверхностей

В тех случаях, когда требуется построить линию пересечения двух поверхностей, из которых одна - линейчатая цилиндрическая, а другая - произвольная поверхность вращения, целесообразно в качестве поверхностей-посредников использовать цилиндрические поверхности.

Построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных конических поверхностей

Использование вспомогательных конических поверхностей для упрощения построения линии пересечения двух поверхностей дает положительный эффект лишь в том случае, если мы для получения вспомогательной проекции воспользуемся центральным проецированием, приняв за центр проекции вершину конической поверхности S.

Построение линии пересечения поверхностей с помощью семейства вспомогательных сферических поверхностей

Для определения линии пересечения двух произвольных поверхностей вращения целесообразно воспользоваться одним свойством, присущим поверхностям вращения, которое состоит в том, что две любые соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, проходящим через точки пересечения меридианов поверхностей (рис. 226).

Построение линии пересечения поверхностей второго порядка (частные случаи)

Рассмотрим некоторые частные случаи пересечения поверхностей второго порядка.

Определение точек пересечения линии с поверхностью

В общем случае для графического решения задачи по определению положения точек пересечения (встречи) линий с поверхностью необходимо выполнить ряд геометрических построений в приведенной ниже последовательности:



как построить проекции касательной плоскости, начертательная геометрия начерт начерталка чертежи примеры теория решение задач скачать смотреть бесплатно:Позиционные задачи Понятия и определения Круг задач, ответы на которые могут быть получены графическим путем, чрезвычайно широк. При пом независимо от степени сложности их решения и характера

как построить проекции касательной плоскости